Perhitungan Sistem Antrian SPBU

Suatu sistem antrian dapat dianalisis uji distribusinya, model antriannya, dan ukuran kinerja sistem. Contoh misalnya adalah sistem antrian berdasarkan data pengamatan di SPBU Jatiwaringin dalam suluran tunggal (single channel model) adalah sebagai berikut:

Banyak Pelanggan di Sistem	Frekuensi Terjadi Tiap Menit (Oi)	Jumlah Kedatangan
0	0	8
1	0	10
2	0	9
3	1	5
4	2	6
5	3	8
6	2	12
7	1	15
8	4	10
9	3	9
10	2	6
11	2	13
Total	20	111

Modelkan Sistem SPBU tersebut jika diketahui juga Pelayanan SPBU dalam tabel berikut:

Pelayanan Dalam Detik	Frekuensi Kejadian
0	0
1	0
2	0
3	0
4	0
5	0
6	0
7	0
8	0
9	0
10	0
11	0
12	0
13	1
14	2
15	1
16	1
17	2
18	0
19	1
20	1
21	2
22	1
23	0
24	1
25	1
26	1
27	2
28	2
29	0
30	1
Total =	20

PENYELESAIAN:

Diketahui:

• Model Antrian = Model Saluran Tunggal (single channel model)
• Notasi Sistem = (M/M/1)
• Disiplin Pelayanan = FCFS (First-Come First-Served)
• Notasi Pelayanan = (FCFS/N/∞)
• Tingkat keyakinan = 95% (α=0.05)

Metode tambahan:

• Modelkan Nilai Harapan (Ei) baik untuk Frekuensi Kedatangan maupun Waktu Pelayanan
• Uji Distribusi Datanya dengan metode goodness of fit test

Perhitungan:

Menghitung Frekuensi Kedatangan Pelanggan dengan Pendekatan Distribusi Poisson:

Banyak Pelanggan di Sistem	Frekuensi Terjadi Tiap  Menit (Oi)	Jumlah Kedatangan	P(x)	Frekuensi Harapan (Ei)
0	0	8	0.000096	0
1	0	10	0.000889	0
2	0	9	0.004112	0
3	1	5	0.012678	1
4	2	6	0.029318	3
5	3	8	0.054238	6
6	2	12	0.083617	9
7	1	15	0.110494	12
8	4	10	0.127758	14
9	3	9	0.131307	15
10	2	6	0.121459	13
11	2	13	0.102136	11
Total	20	111

Rata-rata pelanggan tiap menit adalah 111/15 = 9.25 orang

Hasil Uji Kecocokan Kedatangan Pelanggan:

Banyak Pelanggan di Sistem	Frekuensi Terjadi Tiap Menit (Oi)	Jumlah Kedatangan	Frekuensi Harapan (Ei)	(Oi-Ei)^2	Hasil
0	0	8	0	63.82942	0.57504
1	0	10	0	98.03609	0.883208
2	0	9	0	72.99298	0.657594
3	1	5	1	12.90781	0.116287
4	2	6	3	7.538987	0.067919
5	3	8	6	3.918756	0.035304
6	2	12	9	7.390387	0.06658
7	1	15	12	7.481297	0.067399
8	4	10	14	17.48226	0.157498
9	3	9	15	31.08175	0.280016
10	2	6	13	55.97986	0.504323
11	2	13	11	2.765203	0.024912
	20			Χ² =	3.436079

Hasil perhitungan diperoleh dari Tabel didapat data sebagai berikut:

• Jumlah data (n) = 12
• Jumlah Oi = 15
• Jumlah Kedatangan = 111
• Rata-rata Kedatangan = 9.25
• Hasil Chi-Squared (X²) = 3.436
• Chi-Squared Distribution Table = 19.7

Hasil = Tabel tersebut diatas diterima karena => 3.436 < 19.7

Menghitung Frekuensi Pelayanan Pelanggan dengan Pendekatan Distribusi Poisson:

Pelayanan Dalam Detik	Frekuensi Kejadian	Jumlah	P(x)	Frekuensi Harapan (Ei)
0	0	0	1.15E-06	0
1	0	0	1.57E-05	0
2	0	0	0.000107	0
3	0	0	0.00049	0
4	0	0	0.001674	1
5	0	0	0.004579	2
6	0	0	0.010439	4
7	0	0	0.020397	9
8	0	0	0.034873	15
9	0	0	0.052996	22
10	0	0	0.072485	31
11	0	0	0.090129	38
12	0	0	0.102727	44
13	1	13	0.10808	46
14	2	28	0.10559	45
15	1	15	0.09628	41
16	1	16	0.082304	35
17	2	34	0.066218	28
18	0	0	0.050316	21
19	1	19	0.036221	15
20	1	20	0.02477	11
21	2	42	0.016133	7
22	1	22	0.01003	4
23	0	0	0.005964	3
24	1	24	0.003399	1
25	1	25	0.00186	1
26	1	26	0.000978	0
27	2	54	0.000496	0
28	2	56	0.000242	0
29	0	0	0.000114	0
30	1	30	5.21E-05	0
TOTAL	20	424

Rata-rata pelayanan pelanggan = 424/31 = 13.67 detik

Hasil Uji Kecocokan Pelayanan Pelanggan:

Pelayanan Dalam Detik	Frekuensi Kejadian	Jumlah (Oi)	Frekuensi Harapan (Ei)	(Oi-Ei)^2	Hasil
0	0	0	0	2.37E-07	0.000
1	0	0	0	4.43E-05	0.000
2	0	0	0	0.002073	0.000
3	0	0	0	0.043092	0.000
4	0	0	1	0.503833	0.001
5	0	0	2	3.770121	0.009
6	0	0	4	19.59121	0.046
7	0	0	9	74.79515	0.176
8	0	0	15	218.626	0.516
9	0	0	22	504.9229	1.191
10	0	0	31	944.5684	2.228
11	0	0	38	1460.348	3.444
12	0	0	44	1897.152	4.474
13	1	13	46	1077.546	2.541
14	2	28	45	281.2361	0.663
15	1	15	41	666.808	1.573
16	1	16	35	357.0876	0.842
17	2	34	28	35.08985	0.083
18	0	0	21	455.139	1.073
19	1	19	15	13.26728	0.031
20	1	20	11	90.20064	0.213
21	2	42	7	1236.197	2.916
22	1	22	4	314.9672	0.743
23	0	0	3	6.395564	0.015
24	1	24	1	508.8982	1.200
25	1	25	1	586.1972	1.383
26	1	26	0	654.603	1.544
27	2	54	0	2893.351	6.824
28	2	56	0	3124.515	7.369
29	0	0	0	0.002343	0.000
30	1	30	0	898.6763	2.120
	TOTAL	424		X² =	43.218

Hasil perhitungan diperoleh dari Tabel didapat data sebagai berikut:

• Jumlah data (n) = 31
• Jumlah Pelayanan Oi = 424
• Rata-rata Kedatangan = 13.68
• Hasil Chi-Squared (X²) = 43.218
• Chi-Squared Distribution Table = 43.68

Hasil = Tabel tersebut diatas diterima karena => 43.218 < 43.68

Model Saluran Tunggal (single channel model)

Sistem antrian dalam penelitian adalah dengan satu fasilitas pelayanan dimana pelanggan datang mengikuti distribusi Poisson dengan laju kedatangan 9.25 orang per menit dan waktu pelayanan berdistribusi Poisson 13.67 detik per pelanggan atau 4.389 orang per menit, Sehingga Model antriannya adalah sistem antrian (M/M/1) : (FCFS/N/∞).

Dari kasus diatas didapatkan λ = 4.389 dan μ = 9.25, maka dapat dihitung:

a) Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan atau ρ, dimana ρ = λ/μ => 4.389/9.25 = 0.474247833 yang artinya petugas SPBU akan sibuk melayani pelanggan selama 47% dari waktunya. Sedangkan 53% dari waktunya atau (1 – p) atau (1 – 0.47) yang sering disebut idle time yang akan digunakan petugas SPBU untuk istirahat, membersihkan pompa, menanti, dan lain-lain.

b) Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem, dimana persamaannya adalah L = λ / (μ – λ) atau L = ρ / (1 – ρ). Dari persamaan tersebut didapatkan L = 0.902 atau dibulatkan menjadi 1 yang artinya petugas SPBU dapat  mengharapkan 1 kendaraan yang berada dalam sistem antrian.

c) Adapun jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian, dapat dihitung dengan menggunakan persamaan Lq = λ²/μ(μ-λ), dimana hasilnya adalah Lq = 0.43 mobil.

d) Untuk mengetahui waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan), dapat digunakan persamaan W = 1/(μ – λ); dimana W = 0.21 menit atau sekitar 12.33 detik dalam antrian.

e) Adapun waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian, dihitung dengan persamaan Wq = λ/μ(μ-λ); dimana Wq didapatkan 0.0975 menit atau sekitar 5.85 detik.

Untuk probabilitas kepastian jumlah kendaraan yang ada dalam sistem dapat dihitung dengan menjumlahkan ρ0 + ρ1, dimana ρn = ρ^n(1-ρ) atau:

• n=0 => ρn = (0.474247833)° x (0.525752) = 0.525752
• n=1  => ρn = (0.474247833)¹ x (0.525752) = 0.249337
• Total =0.775089

Perhitungan tersebut menunjukkan bahwa, tingkat probabilitas 1 kendaraan berada dalam sistem pelayanan adalah sebesar 77.51%.

———– Semoga Bermanfaat ————