Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Poisson (dilafalkan [pwasɔ̃]) adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. (distribusi Poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume).

Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis Poisson (1781–1840) dan diterbitkan, bersama teori probabilitasnya, pada tahun 1838 dalam karyanya Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (“Penelitian Probabilitas Hukum Masalah Pidana dan Perdata”). Karyanya memfokuskan peubah acak N yang menghitung antara lain jumlah kejadian diskret (kadang juga disebut “kedatangan”) yang terjadi selama interval waktu tertentu.

Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval adalah λ, maka probabilitas terjadi peristiwa sebanyak k kali (k adalah bilangan bulat non negatif, k = 0, 1, 2, …) maka sama dengan:

f(k; \lambda)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\,\!

dimana:

  • e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828…)
  • k adalah jumlah kejadian suatu peristiwa  — peluang yang diberikan oleh fungsi ini
  • k! adalah faktorial dari k
  • λ adalah bilangan riil positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu. Misalnya, peristiwa yang terjadi rata-rata 4 kali per menit, dan akan dicari probabilitas terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, digunakan distribusi Poisson sebagai model dengan λ = 10×4 = 40.

Sebagai fungsi k, ini disebut fungsi massa probabilitas. Distribusi Poisson dapat diturunkan sebagai kasus terbatas distribusi binomial. Distribusi Poisson dapat diterapkan pada sistem dengan kejadian berjumlah besar yang yang mungkin terjadi, yang mana kenyataannya cukup jarang. Contoh klasik adalah peluruhan nuklir atom.

POISSON (Fungsi POISSON)

Mengembalikan distribusi Poisson. Aplikasi umum distribusi Poisson adalah meramalkan sejumlah peristiwa selama waktu tertentu, seperti jumlah mobil yang datang di sebuah gerbang tol dalam 1 menit.

Sintaks

POISSON(x,mean,cumulative)

Sintaks fungsi POISSON memiliki argumen berikut:

  • X     Diperlukan. Jumlah peristiwa.
  • Mean     Diperlukan. Nilai numerik yang diinginkan.
  • Cumulative     Diperlukan. Nilai logika yang menentukan bentuk distribusi probabilitas yang dikembalikan. Jika kumulatif TRUE, maka POISSON mengembalikan probabilitas kumulatif Poisson bahwa sejumlah kejadian acak akan terjadi antara nol dan x inklusif; jika FALSE, maka mengembalikan fungsi massa probabilitas Poisson bahwa peristiwa yang terjadi akan tepat sejumlah x.

Keterangan

  • Jika x bukan bilangan bulat, maka dipotong.
  • Jika x atau rata-rata nonnumerik, maka POISSON mengembalikan nilai kesalahan #VALUE!.
  • Jika x < 0, POISSON mengembalikan nilai kesalahan #NUM!.
  • Jika rata-rata < 0, POISSON mengembalikan nilai kesalahan #NUM!.
  • POISSON dihitung sebagai berikut:

Untuk kumulatif = FALSE:

Persamaan

Untuk kumulatif = TRUE:

Persamaan

Contoh:

Salin contoh data di dalam tabel berikut ini dan tempel ke dalam sel A1 lembar kerja Excel yang baru. Agar rumus memperlihatkan hasil, pilih datanya, tekan F2, lalu tekan Enter. Jika perlu, Anda bisa menyesuaikan lebar kolom untuk melihat semua data.

Data Deskripsi
2 Jumlah kejadian
5 Rata-rata yang diharapkan
Rumus Deskripsi (Hasil) Hasil
=POISSON(A2,A3,TRUE) Probabilitas Poisson kumulatif dengan persyaratan di atas (0,124652) 0,124652
=POISSON(A2,A3,FALSE) Fungsi massa probabilitas Poisson untuk persyaratan di atas (0,084224) 0,084224

Di MS-Excel terbaru Fungsinya adalah

POISSON.DIST(x,rata-rata,kumulatif)

Contoh dalam Penelitian:

Hitung Frekuensi harapan kedatangan pelanggan SPBU dalam sebuah penelitian jika setelah dilakukan pengamatan di SPBU tersebut didapatkan data sebagai berikut:

Banyak Pelanggan di Sistem SPBU Frekuensi Terjadi Tiap 5 Menit Jumlah Kedatangan
0 0 11
1 0 5
2 0 8
3 0 6
4 0 5
5 2 6
6 4 8
7 0 8
8 4 6
9 1 6
10 0 8
11 1 9

Maka untuk menghitung Frekuensi Harapan kedatangan pelanggan SPBU dapat menggunakan pendekatan Distribusi Poisson, sehingga dapat dihasilkan tabel berikut ini:

Banyak Pelanggan di Sistem Frekuensi Terjadi Tiap 5 Menit (Oi) Jumlah Kedatangan Distribusi Poisson P(x) Frekuensi Harapan (Ei)
0 0 11 0.000772                0
1 0 5 0.005532                0
2 0 8 0.019823                2
3 0 6 0.047354                4
4 0 5 0.084843                7
5 2 6 0.121608              10
6 4 8 0.145254              12
7 0 8 0.148712              13
8 4 6 0.133221              11
9 1 6 0.106084                9
10 0 8 0.076027                7
11 1 9 0.049532                4

Dimana Frekuensi Harapan (Ei) = ∑ data kedatangan x P(x)

  • ∑ data kedatangan = 86
  • Rata-rata (x-bar) = 86/12 = 7.1666666666666666666666666666667